Sky Wall

Дифференциальное уравнение

Дифференциальное уравнение - это уравнение, которое содержит производные функции. Оно используется для описания зависимости изменения величины от ее текущего состояния.

Для решения дифференциального уравнения с заданными начальными условиями y(Xo)=Yo необходимо знать функцию f(x,y) и решить уравнение численными методами или аналитически.

Пример дифференциального уравнения:

y' = 2x + y

Для решения этого уравнения, можно воспользоваться методом Эйлера. Рассмотрим шаг сетки h и приближаем значение функции y на следующем шаге по формуле:

yi+1 = yi + h*f(xi,yi)

Где yi - значение функции y на i-м шаге, xi - значение переменной x на i-м шаге.

Применяя метод Эйлера к данному уравнению, получим:

yi+1 = yi + h*(2xi + yi)

После выбора начальных условий y(0)=1, x(0)=0 и шага сетки h=0.1, можно рассчитать значения функции на каждом шаге и получить ее график:

import matplotlib.pyplot as plt

def euler_method(x0,y0,xf,h):
    xlst=[x0]
    ylst=[y0]
    while xlst[-1]<xf:
        xi=xlst[-1]
        yi=ylst[-1]
        ynew=yi+h*(2*xi+yi)
        xnew=xi+h
        xlst.append(xnew)
        ylst.append(ynew)
    return xlst,ylst
            
x,y=euler_method(0,1,10,0.1)
plt.plot(x,y)
plt.show()

Таким образом, дифференциальное уравнение является мощным инструментом для описания зависимости изменения величины от ее текущего состояния. Решение этого уравнения позволяет получить функцию, которая описывает изменение значения величины в зависимости от времени или другой переменной.