Интеграл e^x*dx/(e^2x+4): как вычислить
Интегрирование - это фундаментальный элемент математики и физики. При решении задач, связанных с движением, электричеством, механикой и другими науками, необходимо использовать интегрирование. Однако, нахождения определенных интегралов может быть довольно сложным. В этой статье мы рассмотрим, как найти значениe интеграла $\int\frac{e^xdx}{e^{2x}+4}$.
Шаг 1: замена переменной
Первым шагом в решении этого интеграла является замена переменной. Мы можем заменить $e^{2x}$ на $u$:
$$ u = e^{2x} $$
Дифференцируя обе части по $x$, мы получаем:
$$ \frac{du}{dx}=2e^{2x}\Rightarrow dx = \frac{1}{2e^{2x}}du=\frac{1}{2u}du $$
Исходный интеграл теперь может быть записан в одной переменной $u$:
$$ \int{\frac{e^x dx}{e^{2x}+4}} = \int{\frac{1}{2u+4}\frac{1}{u}du}\ $$
Шаг 2: разложение на простые дроби
Далее мы можем произвести разложение на простые дроби. Для этого мы знаем, что
$$ \frac{1}{2u+4}=\frac{1}{2(u+2)} $$
Теперь нам нужно разложить дробь $\frac{1}{u}$ на две дроби, которые содержат линейные множители в знаменателе:
$$ \frac{1}{u} = \frac{A}{u+2}+\frac{B}{u} $$
Домножая обе части на $u(u+2)$:
$$ 1 = A \cdot u + B \cdot (u+2) $$
подставляя разные значения $u$ можно найти коэффициенты $A$ и $B$:
$$ u = 0 \Rightarrow B = 1\ u = -2 \Rightarrow A = -\frac{1}{2} $$
Таким образом, дробь может быть представлена в виде:
$$ \frac{1}{u} = -\frac{1}{2(u+2)} + \frac{1}{u} $$
Шаг 3: интегрирование
Вернемся к исходному интегралу и запишем его через разложенные дроби:
$$ \int{\frac{e^x dx}{e^{2x}+4}} = \int{\left(-\frac{1}{2(u+2)} + \frac{1}{u}\right)\frac{1}{2u}du} $$
Мы можем проинтегрировать каждую дробь отдельно:
$$ \int{\frac{e^x dx}{e^{2x}+4}} = \int{\left(-\frac{1}{4u(u+2)} + \frac{1}{2u^2}\right)du} $$
Далее, мы можем решить эти интегралы:
$$ \int{\frac{-1}{4u(u+2)}}du = -\frac{1}{4}\int{\left(\frac{1}{u} - \frac{1}{u+2}\right)du}\ \int{\frac{1}{2u^2}}du = \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\int{du}\ $$
После интегрирования мы получаем:
$$ \int{\frac{e^x dx}{e^{2x}+4}} = -\frac{1}{4}(\ln|u| - \ln|u+2|) + \frac{1}{2u} + C $$
$$ \int{\frac{e^x dx}{e^{2x}+4}} = -\frac{1}{4}\ln|e^{2x}| - \frac{1}{4}\ln|e^{2x}+2| + \frac{1}{2e^{2x}} + C\ \int{\frac{e^x dx}{e^{2x}+4}} = -\frac{1}{4}\ln|(e^{2x}+2)/e^{2x}|+\frac{1}{2e^{2x}}+C $$
Итог
Таким образом, мы получили окончательный ответ:
$$ \int{\frac{e^x dx}{e^{2x}+4}} = -\frac{1}{4}\ln\left|\frac{e^{2x}+2}{e^{2x}}\right|+\frac{1}{2e^{2x}}+C $$
Эту форму нельзя упростить дальше, так как полученный ответ является уже достаточно простым.