Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы

Рассмотрим функцию:

f(x) = x^3 - 3x + 2

Перед тем, как приступить к анализу функции на монотонность и экстремумы, необходимо вычислить ее производную. Для этого применим правило дифференцирования степенной функции:

f'(x) = 3x^2 - 3

Анализ монотонности

Для того чтобы узнать, в каких интервалах функция является монотонной, необходимо решить неравенство f'(x) > 0 и f'(x) < 0.

Решим неравенство f'(x) > 0: 3x^2 - 3 > 0 Выделяем полный квадрат: 3(x^2 - 1) > 0 (x - 1)(x + 1) > 0

Ответ: x < -1 или x > 1

Решим неравенство f'(x) < 0: 3x^2 - 3 < 0 Выделяем полный квадрат: 3(x^2 - 1) < 0 (x - 1)(x + 1) < 0

Ответ: -1 < x < 1

Итак, мы получили, что функция f(x) монотонно возрастает на интервалах x < -1 и x > 1, и монотонно убывает на интервале -1 < x < 1.

Анализ экстремумов

Для определения экстремумов функции необходимо найти точки, в которых производная равна нулю, а затем провести исследование на выпуклость функции.

Найдем значения x, при которых f'(x) = 0: 3x^2 - 3 = 0 x^2 - 1 = 0 (x - 1)(x + 1) = 0

Ответ: x = -1 или x = 1

Теперь проведем исследование на выпуклость функции. Для этого вычислим вторую производную:

f''(x) = 6x

Так как f''(x) > 0 при x > 0 и f''(x) < 0 при x < 0, то функция f(x) является выпуклой вверх на интервале (0, +∞) и выпуклой вниз на интервале (-∞, 0).

Итак, мы получили, что функция f(x) имеет минимум в точке x = -1 и максимум в точке x = 1.

Вывод

Таким образом, функция f(x) = x^3 - 3x + 2 монотонно возрастает на интервалах x < -1 и x > 1, и монотонно убывает на интервале -1 < x < 1. Она имеет минимум в точке x = -1 и максимум в точке x = 1.