Sky Wall

Нахождение дифференциала первого и второго порядка для неявной ф-и

Для нахождения du и d²u необходимо использовать формулы дифференцирования сложной функции. Пусть x = u + ln(v) и y = v - ln(u). Тогда найдем частные производные y по u и v:

∂y/∂u = -1/u²
∂y/∂v = 1 + 1/v

Затем найдем du и dv:

du/dx = 1
du/dy = ∂x/∂y = -1/u

dv/dx = 1/v
dv/dy = ∂v/∂y = 1 + 1/v

Теперь можем найти du и d²u:

du = (du/dx)dx + (du/dy)dy
du = dx - (1/u)dy

Для нахождения d²u продифференцируем полученную формулу еще раз:

d(du)/dx = d(dx)/dx - (1/u)d(dy)/dx
d(du)/dx = 1 - (1/u)(∂y/∂x)
d²u/dx² = - (1/u) * d(∂y/∂x)/dx
d²u/dx² = - (1/u) * (∂²y/∂x² * dv/dy - ∂v/∂y * d²y/dx²)

где ∂²y/∂x² = 0, так как y не зависит явно от x
    ∂v/∂y = 1/v
    d²y/dx² = d/dx (∂y/∂u * du/dx + ∂y/∂v * dv/dx)
          = d/dx ((-1/u²) * 1 + (1 + 1/v) * 1/v)
          = -1/u² - 1/v² + 1/v * dv/dx
          = -1/u² - 1/v² + 1/v * (∂y/∂x - ∂y/∂u * du/dx)
          = -1/u² - 1/v² + 1/v * (∂y/∂x + 1/u)

подставляем значения:
d²u/dx² = - (1/u) * ((-1/u²) * (1 + 1/v) - (1/v) * (-1/u² - 1/v² + 1/v * (∂y/∂x + 1/u)))
d²u/dx² = 1/u³ + 1/v³ - 1/u²v² - (∂y/∂x + 2/u²v)

Таким образом, мы нашли выражения для du и d²u в терминах исходных переменных u и v, а также получили формулу для вычисления второй производной неявной функции.