Найти точки перегиба функции: (+график)

Одним из ключевых моментов при изучении математики является анализ поведения функций на определенном отрезке. При этом важное значение имеет нахождение точек перегиба функции.

Определение точки перегиба функции

Точка перегиба функции - это точка, в которой меняется направление выпуклости или вогнутости графика. То есть, если в точке перегиба функции происходит переход от выпуклости к вогнутости или наоборот, то в этой точке будет локальный минимум или максимум.

Нахождение точек перегиба функции

Существует несколько способов найти точки перегиба функции:

Метод дифференцирования. Необходимо найти вторую производную функции и найти ее корни. Если корень второй производной существует, то это точка перегиба функции.
Анализ знака площади между кривой и касательной. Если при движении по графику функции слева направо площадь между кривой и касательной увеличивается, то это точка выпуклости, если уменьшается - то это точка вогнутости.
Анализ знака второй производной. Если знак второй производной меняется в точке, то это является точкой перегиба функции.

Пример нахождения точек перегиба функции

Для примера возьмем функцию $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3$ и найдем ее точки перегиба.

1. Нахождение второй производной

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

$f''(x) = 6x - 12$

2. Нахождение корней второй производной

$6x - 12 = 0$

$x = 2$

Точка $(2, -5)$ является точкой перегиба функции.

3. Анализ знака площади между кривой и касательной

Для нахождения точек перегиба по этому методу необходимо построить вспомогательную кривую - касательную. Касательная в точке отрезка $[a, b]$ - это прямая, проходящая через точку $(a, f(a))$ и $(b, f(b))$. Затем необходимо посчитать площадь между графиком функции и касательной на данный отрезке и проанализировать ее знак.

Построим касательную в точке $x=2$:

$f'(2) = 3\cdot2^2 - 12\cdot2 + 9$

$f'(2) = -3$

$y - f(2) = f'(2)(x - 2)$

$y = -5 - 3(x - 2)$

$y = -3x + 1$

Теперь посчитаем площади между кривой и касательной на отрезках $[1, 2]$ и $[2, 3]$:

$S_1 = \int_{1}^{2} (x^3 - 6x^2 + 9x + 3) - (-3x + 1) dx = 14.75$

$S_2 = \int_{2}^{3} (x^3 - 6x^2 + 9x + 3) - (-3x + 1) dx = -3.75$

Таким образом, точка $(2, -5)$ является точкой перегиба функции - на отрезке $[1, 2]$ график является вогнутым, а на отрезке $[2, 3]$ - выпуклым.

График функции

На графике точка перегиба функции отмечена красным кружком.

Точки перегиба функции позволяют лучше понимать ее поведение на определенном отрезке и адекватно использовать ее для решения задач. Нахождение точек перегиба функции возможно несколькими способами, в том числе методом дифференцирования и анализом знаков площади между кривой и касательной. Надеюсь, данная статья поможет вам лучше понять эту тему.