Помогите, пожалуйста, решить интеграл:
Интеграл:
$\int\frac{x+2}{x^2-6x-5} dx$
Решение:
Для решения данного интеграла необходимо разложить знаменатель на множители.
$x^2-6x-5 = (x-5)(x+1)$
Теперь можно записать дробь в виде:
$\frac{x+2}{x^2-6x-5} = \frac{A}{x-5} + \frac{B}{x+1}$, где A и B - некоторые коэффициенты.
Домножим обе части на $(x-5)(x+1)$:
$x+2 = A(x+1) + B(x-5)$
Подставим значения $x$, которые сделают один из коэффициентов равным 0, чтобы найти другой коэффициент:
$x=-1 : A = -\frac{3}{2}$
$x=5 : B = \frac{5}{2}$
Теперь можем записать исходную дробь в виде:
$\frac{x+2}{(x-5)(x+1)} = \frac{-\frac{3}{2}}{x+1} + \frac{\frac{5}{2}}{x-5}$
Теперь интеграл разбивается на два простых:
$\int\frac{x+2}{x^2-6x-5} dx = \int \frac{-\frac{3}{2}}{x+1} dx + \int\frac{\frac{5}{2}}{x-5} dx = -\frac{3}{2}\ln|x+1| + \frac{5}{2}\ln|x-5| + C$
где $C$ - произвольная постоянная.
Таким образом, мы решили данный интеграл и получили окончательный ответ:
$\int\frac{x+2}{x^2-6x-5} dx = -\frac{3}{2}\ln|x+1| + \frac{5}{2}\ln|x-5| + C$