Помогите решить

Дано

Дана трапеция $ABCD$ с основанием $BC=6$ и углом $\angle ABC=120^\circ$. Также известно, что $SV=2\sqrt{3}$.

Найти

Найдем площадь $S$ трапеции и длину отрезка $AD$.

Решение

Разобьем трапецию $ABCD$ на два треугольника, $ABC$ и $ADC$, как показано на рисунке.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Он является равносторонним, так как $\angle ABC=120^\circ$, а $\angle BAC=\angle BCA=30^\circ$. Следовательно, $AB=BC=6$ и $AC=6\sqrt{3}$.

Также из треугольника $SVA$ получаем, что $\angle SAV=60^\circ$, так как тангенс угла равен $\frac{2\sqrt{3}}{6\sqrt{3}}=\frac{1}{3}$, что соответствует углу $60^\circ$. Следовательно, $AS=2SV=4\sqrt{3}$.

Рассмотрим теперь треугольник $ADC$. Он является равнобедренным, так как $AD=BC=6$, а $DC=AC-AD=6\sqrt{3}-6=6(\sqrt{3}-1)$. Следовательно, $\angle DAC=\frac{180^\circ-\angle ADC}{2}=30^\circ$, и $AC=2AD\cos{30^\circ}=AD\sqrt{3}$.

Из уравнения $AC=6\sqrt{3}$ выражаем $AD=\frac{AC}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}$.

Итак, мы получили, что $AB=BC=6$, $AC=6\sqrt{3}$, $AS=4\sqrt{3}$ и $AD=2\sqrt{3}$.

Теперь мы можем вычислить площадь трапеции $ABCD$ с помощью формулы $S=\frac{(a+b)h}{2}$, где $a$ и $b$ - основания, $h$ - высота.

Высота равна $AS+SV=6\sqrt{3}$, так как $AS$ и $SV$ являются высотами для треугольников $ABC$ и $SVA$ соответственно.

Таким образом,

$S=\frac{(6+6)6\sqrt{3}}{2}=36\sqrt{3}$.

Также мы можем найти длину отрезка $BD$ с помощью теоремы Пифагора, так как $ABCD$ является прямоугольной трапецией:

$BD=\sqrt{AD^2+(BC+AS)^2}=2\sqrt{21}$.

Наконец, длина $AD$ равна

$AD=\frac{AC}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=6$.

Ответ

Итак, мы получили, что площадь трапеции $ABCD$ равна $36\sqrt{3}$, а длина отрезка $AD$ равна $6$.