Sky Wall

Помогите решить уравнение: sin(4x) * cos(2x) = cos(4x) * sin(2x)

Данное уравнение представляет собой тригонометрическое уравнение, в котором нужно найти значения x, удовлетворяющие данному условию. Для нахождения решения, мы воспользуемся свойствами тригонометрических функций и алгеброй.

Давайте приступим к решению уравнения.

Сначала приведем все тригонометрические функции к одной функции, чтобы уравнение упроститься. В данном случае мы можем воспользоваться формулой произведения синуса и косинуса:

sin(a) * cos(b) = 0.5 * [sin(a + b) + sin(a - b)].

Применим эту формулу к данному уравнению:

0.5 * [sin(6x) + sin(2x)] = 0.5 * [cos(6x) - cos(2x)].

Перейдем к уравнению без скобок:

sin(6x) + sin(2x) = cos(6x) - cos(2x).

Теперь выразим все синусы и косинусы через одину из них, к примеру, через синус:

2sin(4x)cos(2x) + 2sin(x)cos(x) = 2cos(4x)cos(2x) - 2sin(x)sin(2x).

Делаем некоторые алгебраические преобразования:

2sin(4x)cos(2x) + 2sin(x)cos(x) - 2cos(4x)cos(2x) + 2sin(x)sin(2x) = 0.

Теперь группируем слагаемые:

2sin(4x)cos(2x) - 2cos(4x)cos(2x) + 2sin(x)cos(x) + 2sin(x)sin(2x) = 0.

Факторизуем слагаемые:

2cos(2x)[sin(4x) - cos(4x)] + 2sin(x)[cos(x) + sin(2x)] = 0.

Получили два уравнения:

cos(2x) = 0 или sin(4x) - cos(4x) = 0,

cos(x) + sin(2x) = 0 или sin(x) + sin(2x) = 0.

Решим первое уравнение:

Уравнение cos(2x) = 0 имеет решения x = (π/2 + kπ)/2, где k принимает значения 0, 1, 2, ...

Решим второе уравнение:

sin(4x) - cos(4x) = 0.

Применим формулу произведения косинуса и синуса:

[2sin(2x)cos(2x)] - cos^2(2x) + sin^2(2x) = 0.

Упростим уравнение:

2sin(2x)cos(2x) - cos^2(2x) + 1 - cos^2(2x) = 0.

4cos^2(2x) - 2cos(2x) - 1 = 0.

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

D = (-2)^2 - 4 * 4 * (-1) = 4 + 16 = 20.

Так как D > 0, то уравнение имеет два действительных корня.

x = (2 +/- √20) / (2 * 4).

x = (2 +/- 2√5) / 8.

x = (1 +/- √5) / 4.

Итак, мы получили решение уравнения sin(4x) * cos(2x) = cos(4x) * sin(2x):

x = (π/2 + kπ)/2, где k принимает значения 0, 1, 2, ...

и

x = (1 +/- √5) / 4.

Это и есть все решения данного уравнения.

Надеюсь, данная информация помогла вам решить уравнение.