Помогите составить уравнение касательной в полученной точке. Как это сделать?

Касательная является линией, которая касается графика функции в определенной точке. Уравнение касательной в точке задается производной функции в этой точке. Рассмотрим пример и посмотрим, каким образом можно вычислить уравнение касательной в полученной точке.

Пример

Рассмотрим функцию $f(x)=x^2+3x-5$. Найдем уравнение касательной в точке $x=2$.

Шаг 1

Вычислим производную функции $f(x)$: $$ f'(x)=2x+3 $$

Шаг 2

Вычислим значение производной в точке $x=2$: $$ f'(2)=2\cdot 2+3=7 $$

Шаг 3

Найдем значение функции $f(x)$ в точке $x=2$: $$ f(2)=2^2+3\cdot 2-5=7 $$

Шаг 4

Используя формулу для уравнения прямой, запишем уравнение касательной в точке $x=2$: $$ y-f(2)=f'(2)(x-2) $$

Шаг 5

Раскроем скобки: $$ y-7=7(x-2) $$

Шаг 6

Упростим полученное уравнение: $$ y=7x-7 $$

Это и есть уравнение касательной в точке $x=2$.

Вывод

Как видно из примера, для вычисления уравнения касательной в точке необходимо вычислить производную функции в этой точке, найти значение функции в этой точке и использовать формулу для уравнения прямой. Эта процедура может быть использована для любой функции и любой точки на ее графике.