Решение дифференциального уравнения $y''' + y'' = \frac{1}{x^2}$
Данное дифференциальное уравнение имеет вид $y''' + y'' = \frac{1}{x^2}$, где $y$ - искомая функция от переменной $x$.
Чтобы решить данное уравнение, мы воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Для этого найдём общее решение однородного уравнения $y''' + y'' = 0$.
Решение однородного уравнения
Подставим в уравнение однородности $y = e^{rx}$, где $r$ - неизвестная постоянная:
$$y''' + y'' = 0$$ $$r^3e^{rx} + r^2e^{rx} = 0$$ $$r^2(r + 1)e^{rx} = 0$$
Так как $e^{rx} \neq 0$ для любого $r$, получаем:
$$r^2(r + 1) = 0$$
Отсюда получаем два корня: $r_1 = 0$ и $r_2 = -1$.
Общее решение однородного уравнения имеет вид:
$$y_h(x) = C_1e^{0x} + C_2e^{-x}$$ $$y_h(x) = C_1 + C_2e^{-x}$$
Решение неоднородного уравнения
Теперь найдём частное решение неоднородного уравнения. Сначала предположим, что решение имеет вид многочлена второй степени: $y_p(x) = Ax^2 + Bx + C$. Подставляем данное выражение в исходное уравнение:
$$y'''_p + y''_p = \frac{1}{x^2}$$ $$2A + 2 = \frac{1}{x^2}$$
Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях $x$ и находим:
$$A = \frac{1}{2x^2}, B = 0, C = -1$$
Таким образом, частное решение имеет вид:
$$y_p(x) = \frac{1}{2x^2}x^2 - 1$$ $$y_p(x) = \frac{1}{2} - 1$$ $$y_p(x) = \frac{1}{2} - 1$$
Общее решение
Общее решение неоднородного уравнения получается суммой общего решения однородного уравнения $y_h(x)$ и частного решения неоднородного уравнения $y_p(x)$:
$$y(x) = y_h(x) + y_p(x)$$ $$y(x) = C_1 + C_2e^{-x} + \frac{1}{2} - 1$$ $$y(x) = C_1 + C_2e^{-x} - \frac{1}{2}$$
Таким образом, общее решение данного дифференциального уравнения равно:
$$y(x) = C_1 + C_2e^{-x} - \frac{1}{2}$$
где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.
Это решение может быть проверено путем подстановки в исходное уравнение.