Sky Wall

Решение уравнения $F(x)=x^4-2x^2-1$

Для решения данного уравнения нам понадобится использовать формулы понижения степени, так как у нас присутствует четырехстепенный многочлен.

Пусть $t=x^2$, тогда $F(x)=t^2-2t-1$. Решим уравнение $F(x)=0$ относительно $t$:

$$t_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4+4}}{2} = 1\pm\sqrt{2}$$

Теперь найдем корни уравнения $t=x^2$:

$$x_{1,2} = \pm\sqrt{t_{1}} = \pm\sqrt{1+\sqrt{2}}$$ $$x_{3,4} = \pm\sqrt{t_{2}} = \pm\sqrt{1-\sqrt{2}}$$

Итак, решением уравнения $F(x)=0$ являются четыре числа:

$$x_{1} = \sqrt{1+\sqrt{2}},\quad x_{2} = -\sqrt{1+\sqrt{2}},\quad x_{3} = \sqrt{1-\sqrt{2}},\quad x_{4} = -\sqrt{1-\sqrt{2}}$$

Таким образом, мы получили все корни данного уравнения, и решение заключается в подстановке полученных значений для переменной $x$ в исходное уравнение и проверке, что оно выполняется.