Теорема про инвариантность интегрирования
Инвариантность интегрирования является важным свойством операции интегрирования и является одной из основных теорем в математическом анализе. Теорема устанавливает, что значение определенного интеграла не зависит от выбора переменной интегрирования, а только от функции, подынтегрального выражения и пределов интегрирования.
Определение
Определенный интеграл - это математическая операция, которая вычисляет площадь под кривой графика функции в заданных пределах. Для непрерывной функции $f(x)$ на отрезке $[a, b]$, определенный интеграл обозначается следующим образом:
$$\int_{a}^{b} f(x) ,dx$$
Такую функцию $f(x)$ также называют интегралом.
Теорема про инвариантность интегрирования
Теорема про инвариантность интегрирования утверждает, что значение определенного интеграла не изменяется при замене переменной интегрирования. Другими словами, если задан интеграл $\int_{a}^{b} f(x) ,dx$ и сделана замена переменной $x = g(t)$, где $g$ - непрерывная и дифференцируемая функция, и отрезок $[a, b]$ соответствующим образом заменяется отрезком $[c, d]$ с $c = g^{-1}(a)$ и $d = g^{-1}(b)$, то значение интеграла остается неизменным:
$$\int_{a}^{b} f(x) ,dx = \int_{c}^{d} f(g(t)) g'(t) ,dt$$
Здесь $g'(t)$ обозначает производную функции $g(t)$.
Доказательство
Проведем замену переменной $x = g(t)$ в определенном интеграле:
$$\int_{a}^{b} f(g(t)) g'(t) ,dt$$
По правилу дифференцирования сложной функции получаем:
$$\frac{dx}{dt} = \frac{d(g(t))}{dt} = g'(t)$$
Теперь заменим пределы интегрирования. При $t = a$, переменная $x$ принимает значение $g(a) = c$, а при $t = b$, переменная $x$ принимает значение $g(b) = d$. Таким образом, новые пределы интегрирования будут $c$ и $d$.
Замечаем, что $\frac{dx}{dt} = g'(t)$ и $dx = g'(t) ,dt$. Подставим это значение в интеграл:
$$\int_{a}^{b} f(g(t)) g'(t) ,dt = \int_{c}^{d} f(x) ,dx$$
Таким образом, мы получили равенство:
$$\int_{a}^{b} f(g(t)) g'(t) ,dt = \int_{c}^{d} f(x) ,dx$$
Что и требовалось доказать.
Таким образом, теорема про инвариантность интегрирования указывает на то, что интеграл, рассчитанный с помощью замены переменной, даст тот же результат, что и изначальный интеграл. Это свойство является одной из основ интегрального исчисления и позволяет упрощать вычисления путем выбора удобной замены переменной.