Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(-4;1), B(0;1), C(-2;7).

Для начала рассмотрим заданный треугольник на координатной плоскости:

В данном случае, вершины треугольника заданы координатами:

A(-4;1)
B(0;1)
C(-2;7)

Хорошо известно, что нахождение площади треугольника возможно с помощью формулы Герона, однако в данном случае мы воспользуемся методом вычисления по координатам вершин.

Используя координаты вершин, мы можем построить наш треугольник:

Для того, чтобы найти площадь треугольника, нам потребуется рассчитать длину каждой из его сторон.

Для этого используем формулу:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Так, стороны треугольника ABC можно вычислить следующим образом:

AB:

$d_{AB} = \sqrt{(0 - (-4))^2 + (1 - 1)^2} = 4$

BC:

$d_{BC} = \sqrt{(-2 - 0)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{36 + 36} = 6\sqrt2$

AC:

$d_{AC} = \sqrt{(-2 + 4)^2 + (7 - 1)^2} = \sqrt{4^2 + 6^2} = 2\sqrt{13}$

Теперь, когда мы знаем длины сторон, можем найти площадь треугольника ABC при помощи формулы Герона:

$s = \frac{1}{2}(d_{AB} + d_{BC} + d_{AC})$

$S_{ABC} = \sqrt{s(s - d_{AB})(s - d_{BC})(s - d_{AC})}$

$s = \frac{1}{2}(4 + 6\sqrt2 + 2\sqrt{13}) = 3 + 3\sqrt2 + \sqrt{13}$

$S_{ABC} = \sqrt{(3+3\sqrt2+\sqrt{13})(3+3\sqrt2-\sqrt{13})(3-3\sqrt2+\sqrt{13})(-3+3\sqrt2+\sqrt{13})} \approx 21.32$

Таким образом, мы получили ответ: площадь треугольника ABC составляет примерно 21.32 квадратных единиц.