Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: x=3, y=x^2, y=0

Одной из важнейших задач математики является нахождение площади фигуры, ограниченной некоторыми линиями. В данной статье мы рассмотрим способ вычисления площади фигуры, ограниченной линиями x=3, y=x^2 и y=0.

Для начала разберемся с геометрией задачи. Линия x=3 является вертикальной линией, проходящей через точку с координатами (3, 0) на графике. Линия y=x^2 представляет собой параболу, которая открывается вверх и проходит через точку (0, 0). Линия y=0 представляет собой горизонтальную линию, проходящую через ось x.

Сформулируем задачу математически. Наша цель - вычислить площадь фигуры, ограниченной вышеуказанными линиями. Для этого будем использовать интеграл.

Найдем точки пересечения линий x=3 и y=x^2. Подставим x=3 в выражение y=x^2:

y = 3^2 = 9

Таким образом, точка пересечения линий x=3 и y=x^2 имеет координаты (3, 9).

Теперь построим график данной фигуры:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(0, 3, 100)  # Задаем интервал по оси x
y = x**2                   # Вычисляем значения y

plt.plot(x, y, color='blue', label='y = x^2')  # Строим график параболы
plt.axvline(x=3, color='orange', linestyle='--', label='x = 3')  # Рисуем вертикальную линию
plt.fill_between(x, y, where=(x>=0) & (x<=3), color='gray', alpha=0.3)  # Заполняем область фигуры серым цветом

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Из графика видно, что фигура, ограниченная линиями x=3, y=x^2 и y=0, представляет собой параболу, часть оси x и линию x=3.

Теперь перейдем к вычислению площади фигуры. Мы можем разделить фигуру на две части - параболу и треугольник. Площадь параболы можно вычислить с помощью определенного интеграла:

Интегрируя данное выражение, получаем:

Таким образом, площадь параболы равна 9.

Площадь треугольника можно вычислить как половину произведения его высоты и основания. Высота треугольника равна расстоянию от линии x=3 до оси x, то есть 3. Основание треугольника равно длине отрезка x, на котором находится фигура, то есть от 0 до 3. Таким образом, площадь треугольника равна:

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями x=3, y=x^2 и y=0, равна сумме площадей параболы и треугольника. Таким образом, итоговая площадь равна:

Таким образом, площадь фигуры равна 13.5 квадратных единиц.

Надеюсь, эта статья помогла вам понять, как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x=3, y=x^2 и y=0, с использованием метода интегрирования.