Записать уравнение плоскости, проходящей через прямую
Для записи уравнения плоскости, проходящей через прямую, необходимо знать как минимум одну точку на этой прямой и направляющий вектор. От этого будет зависеть форма итогового уравнения.
Случай, когда известна точка и направляющий вектор прямой
Если известна точка $A(x_0, y_0, z_0)$ на прямой и ее направляющий вектор $\vec{l} = \begin{pmatrix}a \ b \ c\end{pmatrix}$, то уравнение плоскости может быть записано в виде:
$$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$$
Случай, когда известны две точки на прямой
Если известны две точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и $B(x_2, y_2, z_2)$ на прямой, то направляющий вектор $\vec{l}$ будет равен разности этих точек:
$$\vec{l} = \begin{pmatrix}x_2 - x_1 \ y_2 - y_1 \ z_2 - z_1\end{pmatrix}$$
Затем уравнение плоскости может быть записано аналогично предыдущему случаю:
$$a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$$
где $x_0, y_0, z_0$ - координаты любой из известных точек на прямой, а $a, b, c$ - координаты направляющего вектора.
Пример записи уравнения плоскости
Допустим, нам известны точки $A(1, 2, 3)$ и $B(4, 5, 6)$ на прямой. Тогда направляющий вектор будет равен:
$$\vec{l} = \begin{pmatrix}4-1 \ 5-2 \ 6-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \ 3 \ 3\end{pmatrix}$$
А уравнение плоскости будет иметь вид:
$$3(x-1) + 3(y-2) + 3(z-3) = 0$$
или
$$x+y+z = 12$$
В данном случае уравнение может быть упрощено из-за того, что коэффициенты $a, b, c$ равны друг другу. Однако в общем случае такое упрощение произвести нельзя.
Таким образом, зная хотя бы одну точку на прямой и ее направляющий вектор, мы можем записать уравнение плоскости, которая проходит через эту прямую.