Геометрия 9 класс: окружность

Окружность - это множество точек в плоскости, которые равноудалены от центра окружности. Окружность имеет также свойства, которые помогают решать задачи с её использованием.

Формула окружности

Формула окружности показывает, как вычислить длину окружности, зная её радиус. Представим, что радиус окружности равен r. Длину L окружности можно вычислить по формуле:

L = 2 * π * r

где π (пи) - это математическая константа, приблизительно равная 3.14.

Свойства окружности

Все радиусы окружности равны друг другу.
Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит ровно одна окружность.
Точка, лежащая на окружности, равноудалена от её центра и края.
Касательная к окружности в какой-то точке является перпендикуляром к радиусу.
Диаметр окружности делит её на две равные части.
Длина дуги окружности, ограниченной двумя точками, определяется по формуле:

l = r * α

где r - радиус окружности, а α - центральный угол, который либо измеряется в радианах, либо в градусах.

Если сквозь точку касания окружности и её внешнюю точку провести хорду (отрезок, соединяющий две точки на окружности), то произведение длин складывающихся частей хорды будет равно произведению длин сегментов, которые она разделяет на окружности.

Примеры решения задач с использованием окружности

Задача 1. Дана окружность с радиусом 6 см. Найдите длину окружности и площадь круга.

Решение: Используя формулу окружности, мы можем вычислить длину окружности:

L = 2 * π * r = 2 * 3.14 * 6 = 37.68 см

Чтобы найти площадь круга, мы можем использовать формулу:

S = π * r² = 3.14 * 6² = 113.04 см²

Задача 2. Дан треугольник ABC, вписанный в окружность радиуса 5 см. Определите длину стороны AC, если BC = 3 см, a ∠CAB = 60°.

Решение: Для нахождения стороны АС мы можем использовать свойство окружности, которое говорит, что все углы, вписанные в дугу, имеют равную меру. Таким образом, ∠CBА и ∠CAB будут по 60°, а ∠BAC - 60° + 60° = 120°.

D/CB = 3, поэтому мы можем использовать теорему синусов, чтобы найти сторону АС:

sin(120°) / 3 = sin(∠ACB) / 5

sin(∠ACB) = (5 * sin(120°)) / 3 ≈ 2.8868

∠ACB ≈ sin⁻¹(2.8868) ≈ 71.48°

Теперь, используя формулу синусов, мы можем найти сторону АС:

AC / sin(∠CAB) = 5 / sin(∠ACB)

AC / sin(60°) = 5 / sin(71.48°)

AC ≈ 5 * sin(60°) / sin(71.48°) ≈ 4.32

Таким образом, длина стороны AC ≈ 4.32 см.

Вывод

Окружность - это важный элемент геометрии, который имеет свои свойства и формулы. Знание данных понятий и правил позволит решить множество различных задач, которые связаны с использованием окружности в геометрии.