Найти производные указанных порядков параметрически заданных функций

В данной статье рассмотрим методы нахождения производных указанных порядков для параметрически заданных функций.

Параметрически заданные функции представляют собой функции, которые описываются через параметры. Вместо обычного выражения y = f(x), здесь у нас есть две функции: x = g(t) и y = h(t), где t - параметр, который изменяется.

Правило дифференцирования параметрически заданных функций

Правило дифференцирования параметрически заданных функций состоит в использовании цепного правила дифференцирования. Цепное правило гласит, что производная композиции функций равна произведению производных этих функций.

Производные первого порядка

Для нахождения производных первого порядка параметрически заданных функций, необходимо применить цепное правило дифференцирования.

Найдем производную функции y по параметру t, предполагая, что x = g(t), и y = h(t):

dy/dt = dy/dx * dx/dt

Здесь dy/dx - производная функции y по x, а dx/dt - производная функции x по t.

Производные высших порядков

Для нахождения производных высших порядков параметрически заданных функций, необходимо продолжать применять цепное правило дифференцирования.

Найдем производную функции y несколько раз по параметру t:

d^n(y)/dt^n = d^n(y)/dx^n * dx/dt^n

Здесь d^n(y)/dx^n - производная функции y n-го порядка по x, а dx/dt^n - производная функции x n-го порядка по t.

Пример

Рассмотрим пример параметрически заданной функции:

x = cos(t)

y = sin(t)

Найдем производные первого порядка данной функции:

dx/dt = -sin(t)

dy/dt = cos(t)

Теперь найдем производные второго порядка:

d^2x/dt^2 = -cos(t)

d^2y/dt^2 = -sin(t)

И так далее, продолжаем находить производные высших порядков.

Заключение

Найти производные указанных порядков параметрически заданных функций несложно, применяя цепное правило дифференцирования. Важно помнить, что производная y по t зависит от производных x по t и y по x. Путем продолжения применения цепного правила можно находить производные любого порядка.