ПОМОГИТЕ докажите, что значение выражения $49^{100} - 14^{50}$ кратно 5

Задача заключается в том, чтобы доказать, что значение выражения $49^{100} - 14^{50}$ является кратным 5.

Давайте решим эту задачу с помощью модульной арифметики.

Мы можем использовать "Малую теорему Ферма", которая говорит, что если $p$ - простое число, а $a$ не делится на $p$, то $a^{p-1}-1$ делится на $p$.

Мы можем применить эту теорему для простого числа 5.

Заметим, что $49^{100}$ и $14^{50}$ являются степенями 49 и 14 соответственно, а значит они не делятся на 5.

Следовательно, мы можем применить "Малую теорему Ферма" для доказательства кратности выражения $49^{100}-14^{50}$ числу 5.

По "Малой теореме Ферма", $49^4 - 1$ делится на 5.

Давайте проверим это:

$49^4 - 1 = 5764801 - 1 = 5764800$

Заметим, что $5764800$ делится на 5 без остатка.

Теперь мы можем разложить на множители выражение $49^{100}-14^{50}$:

$49^{100}-14^{50} = (49^4 - 1) \cdot (49^{96} + 49^{92} + 49^{88} + ... + 1) - (14^4 - 1) \cdot (14^{46} + 14^{42} + 14^{38} + ... + 1)$

По свойству деления, если множитель делится на 5, то и весь произведение будет делиться на 5.

Таким образом, оба множителя $(49^4 - 1)$ и $(14^4 - 1)$ делятся на 5.

Значит, и все выражение $49^{100}-14^{50}$ будет кратно 5.

Итак, мы доказали, что значение выражения $49^{100}-14^{50}$ кратно 5.