Sky Wall

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!

Проведите полное исследование функции и постройте ее график

В данной статье мы рассмотрим задачу, которая будет полезна для студентов математических факультетов и школьников, изучающих математику. Будем исследовать функцию и построим ее график с помощью Python.

Задача: Исследуем функцию $f(x)=-\sqrt{4-x}+3x^2-4x$, найдем область определения функции, производную, экстремумы, интервалы знакопостоянства, асимптоты, и построим ее график.

Решение в Python:

Импортируем библиотеки:

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

Задаем функцию:

def f(x):
    return -1*np.sqrt(4-x)+3*(x**2)-4*x

Найдем область определения функции.

$\begin{cases}4-x\geqslant0 \ 4-x\geqslant0 \end{cases}$

Отсюда получим:

$$\begin{cases}x\in(-\infty; 4] \ x\in(-\infty; 4]\end{cases}$$

Область определения функции $D(f) = (-\infty; 4]$

Найдем производную функции:

$f'(x)=-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}+6x-4$

Найдем экстремумы:

Для этого найдем корни уравнения $f'(x) = 0$:

$-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}+6x-4 = 0$

$-\frac{1}{2\sqrt{4-x}}=4-6x$

$\frac{1}{4-6x}=-2\sqrt{4-x}$

${\left(\frac{1}{4-6x}\right)}^2=4-x$

$x^2-4x+\frac{15}{4}=0$

$x_1 = 1, x_2 = 3$

$f''(x) = \frac{1}{4{\sqrt{(4-x)^3}}}+6 > 0$ на $(-\infty; 4]$

Таким образом, функция $f(x)$ имеет локальный минимум в точке x=1 и локальный максимум в точке x=3.

Найдем интервалы знакопостоянства:

$f(x)>0:$ $x\in(\frac{5}{2};4]$

$f(x)<0:$ $x\in(-\infty;\frac{5}{2})$

Построим график функции:

x = np.linspace(-5, 4, 200)
y = f(x)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y)
ax.axhline(0, color='black', lw=1)
ax.axvline(0, color='black', lw=1)
plt.show()

Найдем асимптоту функции:

$f(x)=-\sqrt{4-x}+3x^2-4x$

$x=4$ - вертикальная асимптота, так как при $x\rightarrow4$ знаменатель $\sqrt{4-x}$ будет $\rightarrow0$

Также, исследуем поведение функции на бесконечности.

$\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=-\infty$

$\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$

Таким образом, мы провели полное исследование функции $f(x)=-\sqrt{4-x}+3x^2-4x$, построили ее график и нашли асимптоту. Код для построения графика функции можно использовать для построения графиков других функций и анализа их свойств.