Укажите 1 отрицательное решение неравенства: sin (x/2) * cos (x/2) >= 1/4. Как его решать?
Неравенства являются важным инструментом в математике, используемым для нахождения значений переменных, при которых неравенство выполняется. В данной статье мы рассмотрим некоторые способы решения неравенства
sin (x/2) * cos (x/2) >= 1/4.
Метод 1: Графическое решение
Один из способов найти решение данного неравенства - построение графика функции и нахождение интервалов значений, при которых неравенство выполняется.
Мы знаем, что функции sin(x/2) и cos(x/2) положительны на интервалах, при которых sin(x/2) > 0 и cos(x/2) > 0 соответственно. Причём обе функции принимают значения от 0 до 1.
Графики sin(x/2) и cos(x/2) пересекаются при x = pi/4 + 2kπ, где k - целое число. При этих значениях sin(x/2) * cos(x/2) = 1/4. Также, в силу периодичности функций, графики пересекаются при x = pi/4 + (2k+1)π, где k - целое число.
Однако, нам интересуют значения, при которых sin(x/2) * cos(x/2) >= 1/4, то есть график функции находится выше или на месте горизонтальной прямой уровня y = 1/4. Видим, что на интервалах, где sin(x/2) * cos(x/2) > 1/4, неравенство выполняется, поскольку функция находится выше горизонтальной прямой уровня y = 1/4.
По графику можно увидеть, что между пересечениями графиков функций sin(x/2) и cos(x/2), неравенство sin (x/2) * cos (x/2) >= 1/4 не выполняется. Определим значения x, где график функции находится ниже горизонтальной прямой уровня y = 1/4.
Минимальное отрицательное значение графика можно найти, зная, что функции sin(x/2) и cos(x/2) принимают значения от 0 до 1. При x = 3π/2 значение sin (x/2) * cos (x/2) достигает минимума и равно -1/4.
Соответственно, решение данного неравенства будет отрицательное значение, меньшее -1/4. Ответ: x < 3π/2.
Метод 2: Общий подход
Рассмотрим неравенство sin (x/2) * cos (x/2) >= 1/4 в общем виде. Умножим обе части неравенства на 4, чтобы избавиться от дроби:
4 * sin (x/2) * cos (x/2) >= 1.
Применим тригонометрическое тождество sin (2α) = 2 * sin (α) * cos (α), где α = x/2:
4 * sin (x/2) * cos (x/2) = 2 * sin (x/2) * 2 * cos (x/2) = sin (x).
Теперь мы имеем неравенство sin(x) >= 1.
Одна из основных характеристик синуса - значение ограничено от -1 до 1. Это означает, что неравенство sin(x) >= 1 не имеет решений, так как значение синуса не может быть больше 1.
Таким образом, отрицательное решение неравенства sin (x/2) * cos (x/2) >= 1/4 отсутствует.
- Отдых на Пхукете: почему стоит посетить остров
- В чем своенравны и свободолюбивы?
- Хочу уехать из города, в котором прожила всю свою жизнь. И хочется и колется - как быть?
- Ребята это нормально? У меня проц греется на 49 градусов в биосе?
- Народ, у меня в полке отыскались старые жесткие пряники.
- Укажите 1 отрицательное решение неравенства: sin (x/2) * cos (x/2) >= 1/4. Как его решать?
