В треугольник АВС вписана в окружность

В данной статье мы рассмотрим задачу о вписанной окружности в треугольник АВС. По условию, известны длины сторон треугольника: АВ = 10, ВС = 9 и АС = 11.

Чтобы найти длину отрезка ВК, нужно найти точку К - точку касания окружности с стороной АВ.

Мы знаем, что в треугольнике со сторонами АВ, ВС и АС, точка пересечения высот является центром окружности, вписанной в треугольник.

Используя формулу для радиуса вписанной окружности, можем найти его значение: [ r = \sqrt{\frac{(p - АВ)(p - ВС)(p - АС)}{p}} ] [ r = \sqrt{\frac{(10 + 9 + 11)(10 + 9 - 11)(10 + 11 - 9)(9 + 11 - 10)}{10 + 9 + 11}} ] [ r = \sqrt{\frac{(30)(8)(10)(10)}{30}} ] [ r = \sqrt{80} ] [ r = 2\sqrt{20} ]

Здесь мы используем полупериметр треугольника: [ p = \frac{АВ + ВС + АС}{2} = \frac{10 + 9 + 11}{2} = 15 ]

После того, как мы нашли радиус окружности, можем рассмотреть отрезок ВК, где К - точка касания окружности с стороной АВ.

Отрезок ВК будет являться высотой треугольника АВК, а высота треугольника АВК является медианой треугольника АВС. Поэтому, длина отрезка ВК составляет две трети длины медианы:

[ ВК = \frac{2}{3} \cdot Медиана ]

Зная формулу для длины медианы в треугольнике, можем вычислить длину отрезка ВК:

[ Медиана = \frac{1}{2} \sqrt{2(AB^2 + AC^2) - BC^2} ] [ ВK = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2(10^2 + 11^2) - 9^2} ] [ ВK = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2(100 + 121) - 81} ] [ ВK = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{242} ] [ ВK = \frac{\sqrt{242}}{3} ]

Таким образом, длина отрезка ВК составляет (\frac{\sqrt{242}}{3}).