Задачка с олимпиады

Как обычно, на олимпиаде по математике было несколько задач, которые ученики должны были решить. Одной из таких задач была следующая:

Задача №7

Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение $x^2 - ax + 4a = 0$ имеет только один корень.

На первый взгляд может показаться, что эта задача очень простая, но на самом деле она требует некоторых знаний из алгебры. Давайте разберемся, как можно решить эту задачу.

Решение

Посмотрим на уравнение $x^2 - ax + 4a = 0$. Как мы знаем, чтобы у квадратного уравнения был только один корень, дискриминант должен быть равен нулю. То есть, нужно решить уравнение:

$a^2 - 4 \cdot 4a = 0$

$a^2 - 16a = 0$

$a(a - 16) = 0$

Отсюда видно, что решением уравнения будет $a=0$ или $a=16$. Но необходимо проверить, удовлетворяет ли каждое из этих значений условию задачи.

Если $a = 0$, то уравнение принимает вид $x^2 + 4 \cdot 0 = 0$, что эквивалентно $x^2 = 0$, и корень уравнения будет $x=0$. То есть, уравнение имеет только один корень.

Если же $a = 16$, то уравнение принимает вид $x^2 - 16x + 64 = 0$. По формуле дискриминанта, $D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64 = 0$. В этом случае, уравнение также имеет только один корень.

Таким образом, ответом на задачу будет $a=0$ или $a=16$.

Выводы

Как мы видим, задачки на олимпиадах могут оказаться не такими простыми, как кажутся на первый взгляд. Однако, знание основ алгебры и математической логики поможет решить даже самые сложные задачи.